○ 岑巩县天星乡九年一贯制学校 姚 敏

人教版八年级（下册）第31—33页，17.2勾股定理的逆定理，是在上节《勾股定理》之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面学习知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，也是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，将为以后学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。“探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”勾股定理的逆定理是初中数学中非常重要的定理，华罗庚把它称为“茫茫宇宙星际交流的语言”，勾股定理的逆定理揭示了直角三角形三边的数量关系，体现了“数形结合”的数学思想。勾股定理的逆定理不但是解直角三角形的重要依据，也是历年中考必考的知识点，同时在实际生活中的应用也十分广泛。这里我们探索勾股定理的逆定理的应用。在长期的初中数学教学中发现，有许多学生在涉及判断三角形的形状、计算图形的面积时，还是不知道应该如何利用勾股定理的逆定理来解决问题。由于勾股定理的逆定理把直角三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边之间的“数”的关系，也就是把几何学与代数学有机地结合在一起了。因此，我们应用勾股定理的逆定理抽象出数学方程模型或者进行图形的转化是判断三角形的形状、计算图形的面积问题的一种行之有效的方法。在应用勾股定理的逆定理解决问题的时候，一定要让学生去思考、讨论、交流甚至是探究，让他们经历解题的过程，最终树立“数形结合”的数学思想和方法。正如《课标》所说：“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。”下面就勾股定理的逆定理的应用谈谈自己的看法。

一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状

例1：已知在三角形中，a、b、c分别是它的三边，并且a+b=17， ab=60，c=13，判断三角形的形状。

分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值，再检验a2+b2与c2 的大小，就可以得出相应的结论。

所以，凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状，都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。

变式训练：如图所示，已知：在△ABC中，AB=41，BC=18，BC边上的中线AD=40。求证：△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理探究数与数的关系

前面我们已学习了勾股定理，下面我们运用所学的知识一起来研究一个有趣的数学游戏，请同学用你最敏捷的头脑选出下列各数中，任意两个数的平方和等于另一个数的平方。我们把每组数称为“朋友知心”，看谁找得最快！

6， 60，4，2 ，40，3 ，11，8，5，41，7，12，61，10，13，9 ……

学生小组讨论非常激烈，片刻各小组陆续举手已完成。

32+42=52、 62+82=102、 52+122 =132、 92+402=412、 112+602=612 ……

学生小组A：我们小组都已完成，但对于数字较大时，一时难以找得出来。

学生小组B：我们小组也是遇到同样的问题。

师：同学们，你们有这样的困惑是每一个人学习勾股定理逆定理的一个疑点，现老师领着大家一起来解开疑点，并且更快、更准地找到两个数的平方和等于另一个数的平方。

学生们流露出迫切想知道的神情。

师：每一组数中，当最小的数为奇数时，如：a为奇数时（1除外），即：a2 +［（a2-1）/2］2 =［（a2+1）/2］2 ，当最小的数为偶数时，如：a为偶数时（2除外），即：a2 +（a2/4-1）2 =（ a2/4+1）2 。还有特殊的最小数为奇数时（1除外），另两个数为相邻的正整数，则这两个相邻的数是最小数的平方除以2所得的值的前后两个正整数。如：当a=5时，则52 ÷2=12.5，而12＜12.5＜13，所以这组的数为5，12，13，即：52+122=132，这是针对最小的奇数和另两个相邻的数的关系。

我们在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时，一定要让学生进行变式训练，并进行一题多解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。同时，我们还要注意发挥学生的主体作用，让学生主动地去发现问题、探究问题进而解决问题，从而培养学生的思维能力和创新能力。在学习和应用勾股定理的逆定理过程中，我们可以结合“综合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。我们要遵循 《课标》的要求和教学理念，灵活地应用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让学生明白数学知识来源于生活，但又要应用于生活。没有生活就没有数学知识，数学知识如果不应用于生活，也就失去了数学知识的价值。总之，勾股定理的逆定理的应用是十分广泛的。我们在引导学生应用勾股定理的逆定理时，一定要注意方式、方法，让学生灵活地掌握和应用。