○ 从江县第一民族中学 杨再财

函数对于很多高中生来说是最害怕的，也是觉得最难学、难懂的，但函数又贯穿于整个高中数学，甚至以后大学学习的内容，所以只有好好地学习函数，去了解它；最重要的是高考中函数恒成立的问题也是经常考。因此，对于二次函数（函数）恒成立的问题，我们是否有一些合适方法去解决呢，让我们一起来探讨学习吧。

一、在R上的恒成立问题

这类题型一般出现在选择题中，主要考察学生对二次函数的理解以及函数图像的应用，但是当二次项含有参数时，很多学生容易出现漏解的情况。

例1 若一元二次不等式[~公式~]对于一切实数[~公式~]都成立，则[~公式~]的取值范围为（ ）

A.（[~公式~]] B.[[~公式~]） C.[[~公式~]] D.（[~公式~]）

解：分析，此题中明确为一元二次不等式，因此不存在[~公式~]等于0的情况， 所以，[~公式~]，又[~公式~]对于一切实数[~公式~]都成立，根据二次函数的图像，也就说函数必须开口向下，且与[~公式~]轴无交点：

则必有[~公式~]解得[~公式~]故答案为[~公式~]。

例2 设[~公式~]为常数，对于[~公式~]则[~公式~]的取值范围是（ ）

A.[~公式~] B.[~公式~] C.[~公式~] D.[~公式~]

解：分析，此题中没有明确不等式为一元二次不等式，因此要对二次项系数进行讨论：（1）若[~公式~]时，则原不等式变为[~公式~]，则不等式恒成立。

（2）若[~公式~]时，根据二次函数的图像得函数必须开口向上，且与[~公式~]轴无交点：

则必有[~公式~]解得[~公式~]，综合以上得[~公式~]，故答案为B。

二、在给定的区间上的恒成立问题

这类题型一般出现在函数综合解答题中，解决这类型题目采用的方法通常有：1.分离参数；2.变形，对参数进行分类讨论。

例3 设函数[~公式~]，若对于[~公式~]，[~公式~]恒成立，求[~公式~]的取值范围。

解：方法一 ：分离参数

把[~公式~]带入[~公式~]移项得，[~公式~]

这就把问题转化为求函数的值域问题， 令[~公式~]，只要[~公式~]比函数[~公式~]的最小值还要小，则原不等式就成立，而函数[~公式~]可以变为[~公式~]

在[~公式~]上函数[~公式~]为单调递减，因此[~公式~]，因此[~公式~]。

方法二：[~公式~]带入[~公式~]移项得，[~公式~]，令[~公式~]，[~公式~]

⑴当[~公式~][~公式~]在[~公式~]上单调递增，所以[~公式~][~公式~][~公式~]所以，[~公式~]，所以[~公式~]；

⑵当[~公式~]时，[~公式~]恒成立；

⑶当[~公式~][~公式~]在[~公式~]上单调递减，所以[~公式~][~公式~][~公式~]，所以[~公式~]，所以[~公式~]。

综合上述，[~公式~] 的取值范围是[~公式~] . 三、在给定参数范围的恒成立问题

这类题型中是恒成立中比较难的，如果不掌握方法，按照常规思路去解决，那样会花费很多时间，而且得到的答案可能不完整。那么解决这类题型的方法是要弄清楚谁是主元，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。

例4 对任意[~公式~]，函数[~公式~]的值恒大于零，求[~公式~]的取值范围。

解：分析，按照解题的方法知道[~公式~]的范围，[~公式~]就是主元，求[~公式~]的范围，[~公式~]就是参数，因此要把原来的函数变为以 [~公式~]为变量，[~公式~]为参数的方程。所以，由[~公式~]，令[~公式~]，这时候[~公式~]就可以看成是以[~公式~]为变量的一次函数，由题意得，[~公式~]，函数[~公式~]的值恒大于零

所以[~公式~]

解得[~公式~][~公式~]

故当[~公式~]的取值范围为[~公式~]时，对任意的[~公式~]，函数[~公式~]的值恒大于零。

以上简单介绍了常见的二次函数恒成立问题解决的常用方法，这只是解决问题的一个方面。除了掌握方法以外，在平时做题中我们还有结合题目的实际问题理解题目的本质，还要注重一题多解，找到解决问题的最佳方法，在实际解决问题中要综合考虑，灵活运用。更重要的是在学习和解题中要做到知其然亦知其所以然。