○ 凯里市第七中学 杨永华

在农村教初中数学8年，笔者常常听到老师们埋怨学生的基础差，听不懂所讲的内容，或者当时似乎听懂了，而作业又错误百出。从数学交流的角度看，就是说你的学生与你交流受到阻碍：或是他无法正确地接受你的信息；或对你的信息虽能变成内部语言，但内容处理却发生了障碍；也有可能是内部处理顺利，但重新译码，向外输出这一关困难。问题出在哪里？也就是说他“差”应差在哪些环节呢？还是所有的环节都差呢？

笔者曾跟踪分析一些差生研究发现，他们中的大多数并不是所有方面都差，而只是在一些环节上发生障碍，从而使交流中断。给他提出一个问题（内容是他学过的），他往往是知道一些的，仅对这个问题中某些“元素”是模糊的、错误的；有时，他对问题中的每个“元素”都能理解（即可以编码变成内部语言），但进行内部处理时，由于自我认知结构不完善，对问题元素的分解，与内部认知结构的连锁，重新组合等能力弱，便发生了混乱。而似乎也只表现在几个点上；内部处理完，重新译出时发生错误似乎比前述两个环节少些，但往往叙述不确切，“心中有话说不出，他们会说：这个问题我懂了，但说不出。”总之，当你的学生对你提出的问题说不懂之类的话时，作为数学教师要学会与后进生进行数学交流，在交流中注意分析问题出在哪个环节上，在某环节上又是哪几点发生障碍。

其实，数学交流表现为三个层次：元素层次、命题层次、模式层次。它们以元素层次为基础，由低到高，逐步上升，并在一定时候转化。交流原理表明，交流必须在同一层次进行，元素层次交流是所有交流的核心。当他对交流中的元素还不熟悉时，他便无法和你交流。元素层次的交流内容包括“新知的概念、法则及以前已形成的各种简单模式”，那后进生在这个层次的交流中会有哪些障碍呢？笔者曾对几名后进生进行了长期跟踪，也记录了他们回答问题的语言，并对他们的作业进行了逐一分析。下面提供几个案例，以便能进行阐述。

学生1：（1）8与y的2倍是正数。

答：8+2y=1

（2）a的3倍与7的差是负数。答：3a-7=-1

问：为什么？ 答：1是正数，-1是负数。

问：2是不是正数？ 答：是的。

问：问什么8+2y不写成等于2呢？

答：2不代表正数。

这里可以看出，在学生的头脑中，对于正数=+1，负数=-1有些根深蒂固了。认为只有±1才能有这种作用，交流发生了障碍。马上矫正是可以的，但他在什么地方得到这样的结果呢？经过多次询问，并翻阅了他以前的作业发现：过去的作业中多次出现：……=+1y……=-1y，这样的结果，老师打上“？”后，他便如是改过来：……=+1y=+y=y……=-1y=-y。

问：这个结果为什么被打上问号？

答：还没做完。

问：那么你又为什么这样改呢？

答：+1就代表正数，-1就代表负数嘛！

问题的症结找到了：对于多项式系数符号，正负数概念表示等元素没有弄清楚。

矫正：在讲清多项式系数符号，正负数概念、表示及分类等内容后。

问：y是正数怎么表示？

答：y＞0（这时他会，而一到多项式中8+2y便发生了混乱）

问：2y为正数呢？ 答：2y＞0

问：8+2y为正数呢？ 答：8+2y＞0

问：8与y的2倍是正数呢？a的3倍与7的差是负数呢？

学生2：解不等式：x-10<0。 答：x>0

这个结果让笔者感到奇怪，其他几个学生得出x=10是可以解释的。

问：为什么这样解？

答：两边同时“除以”-10，不等号方向改变。

把“除以”和“除去”（即减去）混淆。但本来“除以”和“减去”这两个概念他还是比较清晰的，为什么在这种背景下会发生错误呢？当再一次翻阅跟踪记录时明白了。问题出在：（1）移向与合并同类型发生混淆。（2）他的目标很明确，左边变成x，答案就出来了。因此，前面多次出现：x+10=10答：x=10；2x-10=10答：2x=10，x=5。

虽经多次纠正，在解二元一次方程组错误率已降得很低，但在解不等式中多了一个“两边同除以负数，不等号方向要改变”的干扰，他又糊涂地迁移来了。

矫正：从过去他熟悉的例子开始，逐步强化。

x+10=20 x+10>20

x-10=10 x-10>10

x-10=0 x-10>0

一个错误一旦形成，纠正它是极艰难的。对于后进生来说，每次新课中的基本内容都要尽量让他们正确地掌握。

学生3：计算（括号表示涂改为学生所做）

（1）a3·a4=a7； x3·x=x4； 105×10×103=109； -x·（-x）2=-x3

（2）x·x3+x2·x2=x4+x4=（x8）=（2x4）= x8；

x·x4-x3·x=x5-x4=x； a8·a8+a2·a4=a16+a6=a22

（3）10m×10n=10mn； 3×32×3m=33m；

c2·cm=c2m； x3·xm+1=x3m+1；

这里题（1）答案非常正确。（2）错的原因很明显：是他对单项式“合并同类项”与这里的“同底数幂”的乘法发生了混淆。这时问他单项式、同类项、合并同类项，他对这些概念法则已不太清楚，但有似乎知道有那么回事。他做x4+x4=x8时感觉有点不妥，便改成2x4。但他犹豫了几分钟后，说这个结果与课本内容不同，于是又改成了x8，并且仍带有怀疑。从这些现象可以看出，该生的认知结构不完善，便发生混乱与矛盾，虽然意识到这里“+”似乎与“·”不同，但“+”的法则（学过的内容）提不出来，于是只好用“·”的法则来进行计算了。另一方面，对于x4·x4=x4+4，里面有“·”有“+”；对于x4+x4=x4·x4=（x4+4），里面也有“·”有“+”，由此可以发现，他没有分清楚左右及指数等位置不同。有了上述两个问题的结果，他的错误便得到了强化，于是就出现：x5-x4=x，a16+a6=a22。

矫正：详细复习单项式（尤其是含有一个字母）的同类项、合并同类项等内容，再与同底数幂运算进行比较。（3）的结果出现较为奇怪，对于同底数幂运算法则当指数为常数时他很熟练，而当指数含有字母时便产生诸如10m×10n=10mn的错误（在其他案例中这种现象也常有，看来“数到字母的转变”仍是难点）。但x3·xm+1=x3m+1是怎么来的呢？为什么出现3（m+1）=3m+1呢？

问：3（m+1）=？ 答：3m+3

他的回答很对呀！当听他详细讲述自己的做题过程时，笔者才明白他的错误：x3·xm+1=x3·m+1= x3m+1，原来是加括号的问题。加括号的问题在解方程去分母时矫正、强化过横多次，他基本上不会出错。问他：为什么忘了加括号呢？他想了很久扔不明白，只是难为情地反问：这里没有分数线呀！

这几个学生经过笔者一年多的跟踪矫正，现在已经是中等生了，虽然他们还经常出错误，不过他们现在已经不再害怕出错。一出错便积极去找错因，喜欢和老师交谈数学，并发现他们已不再那么厌恶和畏惧数学了。

其实，每一位教师都会遇上很多后进生，上述案例每天都会上演。当遇到时，只要我们肯详细地去分析他们、研究他们，就可以找到与后进生交流数学的障碍，进而改进他们，避免更多的差生产生，这是每一位教师的责任。否则，光靠训斥批评，光靠题海战术，差生是很难彻底改变的。