○ 凯里实验高级中学 张独坤

一、基本情况

（一）授课对象

少数民族地区普通高中的高一学生，处于凯里市中间偏上一点的水平，有一定的直观想象能力、逻辑推理能力和计算能力。

（二）教学内容分析

《基本不等式》是人教版普通高中数学必修第一册第二章2.2的教学内容。基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，它与很多重要的数学概念和性质相关。从运算的角度，[~公式~]是两个正数[~公式~]，[~公式~]的“算术平均数”，[~公式~]是两个正数[~公式~]，[~公式~]的“几何平均数”。因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算。从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解。

基本不等式的推导方法很多。利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式。这些方法也是代数证明和推导的常用方法。

基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广到正数的几何平均值不大于算术平均值。基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法。因此，合理引导学生学好本节内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养。

教学目标：（1）理解基本不等式，发展逻辑推理和数学建模素养；（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展学生数学运算素养。

教学重点：基本不等式的定义、推导方法，用基本不等式解决简单的最值问题。

教学难点：基本不等式的证明和利用基本不等式求最值。

二、教学过程

（一）创设情景，引导探究

师： 在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？

生：对于任意实数[~公式~]，[~公式~]有[~公式~]，当且仅当[~公式~]时等号成立。

师：很好。大家试着用过去学习的知识或者方法来推导今天要学习的基本不等式：对于任意实数[~公式~]，[~公式~]，[~公式~]。

学生探究，教师在巡视中发现学生主要有以下四种思路：

思路1：用正数[~公式~]，[~公式~]代替重要不等式中的[~公式~]，[~公式~]即得[~公式~]，当且仅当[~公式~]等号成立。

思路2：在重要不等式两边同时加[~公式~]，有[~公式~]，即[~公式~]，即[~公式~]，当且仅当[~公式~]时等号成立。

思路3：作差来证明，证明左边减右边的差值大于等于0。

思路4：分析法来证明，即从[~公式~]出发，逐步推出使它成立的条件，直至已知事实成立。

师：一般地，[~公式~]，当且仅当[~公式~]时等号成立。（基本不等式）我们把[~公式~]叫作正数[~公式~]的算术平均数，[~公式~]叫作正数[~公式~]的几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其实也是基本不等式的代数意义。由于基本不等式中含有两个平均数，因此，我们又把基本不等式叫均值不等式。基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。

师：如右上图，[~公式~]是圆的直径，点[~公式~]是[~公式~]上一点，[~公式~]，[~公式~]，过点[~公式~]作垂直于[~公式~]的弦[~公式~]，连接[~公式~]，[~公式~]，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

（二）学生交流，有效解决问题

师：6个小组，5分钟时间讨论交流。

生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充。

师：肯定小组交流成果。几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变。引导学生总结，半径即为[~公式~]，[~公式~]，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等。因此得出基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一半。

师：通过刚才的学习，大家有哪些感悟？

生：想不到[~公式~]和[~公式~]与图中的几何元素建立起联系来，要学会分析不等式。

师：很好，遇到困难时，我们不要轻易放弃，应冷静思考，注意数形结合，勤勉专注。

（三）公式运用，巩固成果

例1.已知[~公式~]，[~公式~]，[~公式~]，求[~公式~]的最小值。

例2.已知[~公式~]，[~公式~]，且[~公式~]，求[~公式~]的最大值。

在例1的教学中，学生讨论得出：首先满足条件[~公式~]，[~公式~]，代入公式，求得[~公式~]，当且仅当[~公式~]时等号成立。在例2的教学中，由学生思考：对基本不等式变形得[~公式~]，代入公式求得[~公式~]，当且仅当[~公式~]时等号成立。

师生共同总结：两个正数积定和最小，两个正数和定积最大。

练习1.已知[~公式~]，求[~公式~]的最小值。

练习2.已知[~公式~]，求[~公式~]的最大值。

强调代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到。通俗地说，就是“一正、二定、三相等”。

（四）反思总结，布置作业

进一步将数学核心素养落实到位，主要通过以下三个问题进行总结。

（1）本节课，我们解决了什么问题？

（2）在解决这些问题过程中用了哪些思想方法？

（3）学完本节课，你有什么感悟和体会？还有哪些疑惑？

作业：完成本节课教材练习1、2、3。

三、教学反思

（一）关于教学目标的制定

《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。”但具体到每节课不可能面面俱到，应有所侧重。高一学生对不等式接触时间不长，对基本不等式理解不深，因此制定了教学目标1，理解基本不等式，着重发展学生逻辑推理和数学建模素养。结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展学生数学运算素养，由此确定了目标2。

（二）关于数学核心素养的培养

教师在课堂教学中，要适时培育学生数学核心素养。在基本不等式的证明过程中，很多学生选择了换元思想、配方法和作差法证明，本节预设也是如此，顺从学生思想，有部分学生还用了分析法的思路，让它们一步步展开，助推逻辑思维能力，而后引导学生从几何背景分析证明，培育了数学建模的思想。最后通过两道例题和练习加深学生对基本不等式的理解，再次培育了数学运算、逻辑推理等核心素养，增强了分析问题的能力，积极探索的精神得到了鼓舞，体会到了成功的喜悦。同时学会了不气馁，坚持下去就会成功的核心素养必备品质。